스핀 상태가 얽힌 두 전자 중 하나를 관측했을 때 다른 하나의 상태가 그 즉시 결정되는 양자 얽힘 현상을 이용해 빛보다 빠르게 정보를 주고받을 수는 없을까?
앨리스와 밥이 각각 우주 반대편에 있으면서 얽힌 상태의 두 전자를 각각 하나씩 나눠가졌다고 생각해 보자.
이때 서로 얽힌 전자들의 스핀 상태가 다음과 같다고 가정하자.
$$
\frac{1}{2}|a_0\rangle|b_0\rangle + \frac{1}{2}|a_0\rangle|b_1\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|a_1\rangle|b_0\rangle + 0|a_1\rangle|b_1\rangle
$$
앨리스가 먼저 측정할 경우
앨리스가 먼저 자신의 큐비트를 측정할 경우를 생각해보자. 이때 앨리스의 기저인 $|a_0\rangle$와 $|a_1\rangle$로 묶으면 아래와 같다.
$$
|a_0\rangle(\frac{1}{2}|b_0\rangle + \frac{1}{2}|b_1\rangle)+|a_1\rangle( \frac{1}{\sqrt{2}}|b_0\rangle + 0|b_1\rangle)
$$
괄호 내의 식을 길이가 1인 단위벡터로 만드려면 식의 길이만큼 괄호 내의 식을 나누고 괄호 밖에서는 곱하면 된다. 왼쪽 괄호 안에 있는 식은 벡터의 크기가 $\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 이므로 괄호 안쪽은 이 값으로 나눠주고, 괄호 밖에서는 곱해주면 된다. 오른쪽 괄호에 대해서도 같은 작업을 해주면 아래와 같다.
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}|a_0\rangle(\frac{1}{\sqrt{2}}|b_0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|b_1\rangle)+\frac{1}{\sqrt{2}}|a_1\rangle(1|b_0\rangle + 0|b_1\rangle)
$$
이때 엘리스의 켓 벡터 앞의 확률 진폭값은 둘 다 $\frac{1}{\sqrt{2}}$로 같으므로, 앨리스가 측정할 때 0과 1을 동일한 확률 각각 50%, 50%로 얻는다.
그러나 앨리스가 0을 얻게 되면 물리계의 상태는 아래와 같이 바뀐다.
$$
1|a_0\rangle(\frac{1}{\sqrt{2}}|b_0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|b_1\rangle)+0|a_1\rangle(1|b_0\rangle + 0|b_1\rangle)
$$
즉, 아래와 같다.
$$
1|a_0\rangle(\frac{1}{\sqrt{2}}|b_0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|b_1\rangle)
$$
따라서 밥 또한 0과 1을 각각 동일한 확률로 얻는다.
앨리스가 1을 얻는 경우에는 물리계의 상태가 아래와 같이 바뀐다.
$$
1|a_1\rangle(1|b_0\rangle + 0|b_1\rangle)
$$
따라서 이때의 밥은 100% 확률로 0을 얻는다.
밥이 먼저 측정할 경우
밥이 먼저 측정한 다음 엘리스가 스핀을 측정하는 경우 앨리스의 확률을 살펴보자.
앨리스가 측정을 마치면 밥과 앨리스가 둘 다 측정을 마친 상태이므로, 최초 식의 확률 진폭을 사용해 계산해도 상관 없다. (위에서처럼 밥의 기저로 묶은 뒤 앨리스가 0과 1을 측정할 확률을 계산해도 된다. 하지만 계산이 다소 번거로울 것이다.)
$$
\frac{1}{2}|a_0\rangle|b_0\rangle + \frac{1}{2}|a_0\rangle|b_1\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|a_1\rangle|b_0\rangle + 0|a_1\rangle|b_1\rangle
$$
앨리스와 밥은 1/4 확률로 00을, 1/4확률로 01을, 1/2확률로 10을, 0의 확률로 11을 얻는다. 따라서 앨리스는 $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ 확률로 0을, $\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$ 확률로 1을 얻을 것이다. 따라서 앨리스는 0과 1을 같은 확률로 얻는다. 그러나 이것은 앨리스가 측정을 먼저 했을 경우와 똑같다. 따라서 앨리스는 자신이 측정한 결과를 가지고 자신이 밥보다 먼저 측정을 했는지 나중에 했는지 알 수 없다. 측정 결과로부터 누가 먼저 측정했는지 판단할 수 없다면 서로 간에 정보를 보내기는 불가능하다.
누가 먼저 측정했는지에 따라 관측 확률이 달라진다면, 나중에 측정한 사람은 먼저 측정한 사람이 관측한 스핀 상태를 알 수 있다. 서로 얼마나 멀리 떨어져 있든, 빛보다 빠른 속도로 정보를 주고받는 것이 가능한 것이다.
초광속 통신이 불가능하다는 내용을 공부하고 개인적인 소감은 다소 아쉽다는 생각이 들었다. 어떻게든 가능하게 만들 방법은 없는 걸까?
출처: 크리스 베른하트 지음, 이정문 옮김, 『양자 컴퓨터 원리와 수학적 기초』, 에이콘, 2019, p86-p91.